1.5: Messunsicherheit

Signifikante Zahlen

Keine Messung ist frei von Fehlern. Fehler werden durch die Begrenzungen von Instrumenten und Messgeräten (z. B. die Größe der Teilungen auf einem Messzylinder) und die Unvollkommenheit der menschlichen Sinne (d. h. der Wahrnehmung) eingeführt. Obwohl Fehler in Berechnungen enorm sein können, tragen sie nicht zur Unsicherheit von Messungen bei. Chemiker bezeichnen den geschätzten Fehlergrad einer Messung als Messunsicherheit und sind darauf bedacht, alle Messwerte nur mit signifikanten Zahlen anzugeben, also Zahlen, die den Wert beschreiben, ohne den Grad der bekannten Genauigkeit zu übertreiben. Chemiker geben als signifikant alle Zahlen an, die mit absoluter Sicherheit bekannt sind, plus eine weitere Ziffer, von der man annimmt, dass sie eine gewisse Unsicherheit enthält. Die Unsicherheit in der letzten Ziffer wird normalerweise mit ±1 angenommen, sofern nicht anders angegeben.

Die folgenden Regeln wurden entwickelt, um die Anzahl der signifikanten Ziffern in einer Messung oder Berechnung zu zählen:

1. Jede Ziffer, die nicht Null ist, ist signifikant.
2. Jede Null zwischen den Ziffern, die nicht Null sind, ist signifikant. Die Zahl 2005 zum Beispiel hat vier signifikante Stellen.
3. Alle Nullen, die als Platzhalter vor der ersten Nicht-Null-Stelle verwendet werden, sind nicht signifikant. So hat 0,05 eine signifikante Zahl, weil die Nullen verwendet werden, um die Stelle der Ziffer 5 anzuzeigen. Im Gegensatz dazu hat 0,050 zwei signifikante Stellen, weil die letzten beiden Ziffern der Zahl 50 entsprechen; die letzte Null ist kein Platzhalter. Als weiteres Beispiel hat 5,0 zwei signifikante Ziffern, weil die Null nicht zur Platzierung der 5, sondern zur Angabe von 5,0 verwendet wird.
4. Wenn eine Zahl keinen Dezimalpunkt enthält, können Nullen, die nach einer Zahl ungleich Null hinzugefügt werden, signifikant sein oder nicht. Ein Beispiel ist die Zahl 100, die als ein-, zwei- oder dreistellig interpretiert werden kann. (Hinweis: Behandeln Sie alle nachgestellten Nullen in Übungen und Problemen in diesem Text als signifikant, es sei denn, es wird ausdrücklich etwas anderes gesagt.)
5. Ganzzahlen, die entweder durch das Zählen von Objekten oder aus Definitionen gewonnen werden, sind exakte Zahlen, die als unendlich viele signifikante Stellen betrachtet werden. Wenn wir z. B. vier Objekte gezählt haben, dann hat die Zahl 4 unendlich viele signifikante Stellen (d. h., sie steht für 4.000…). In ähnlicher Weise ist 1 Fuß (ft) so definiert, dass er 12 Zoll (in) enthält, so dass die Zahl 12 in der folgenden Gleichung unendlich viele signifikante Zahlen hat:

Eine effektive Methode zur Bestimmung der Anzahl signifikanter Zahlen ist die Umwandlung des gemessenen oder berechneten Wertes in die wissenschaftliche Notation, da jede als Platzhalter verwendete Null bei der Umwandlung eliminiert wird. Wenn 0,0800 in wissenschaftlicher Notation als 8,00 × 10-2 ausgedrückt wird, ist es leichter ersichtlich, dass die Zahl drei statt fünf signifikante Ziffern hat; in wissenschaftlicher Notation bestimmt die Zahl vor dem Exponential (d. h. N) die Anzahl der signifikanten Ziffern.

Mathematische Operationen werden unter Verwendung aller angegebenen Ziffern durchgeführt und das Endergebnis dann auf die richtige Anzahl signifikanter Zahlen gerundet, um eine vernünftige Antwort zu erhalten. Mit dieser Methode wird vermieden, dass sich Ungenauigkeiten durch sukzessives Runden von Zwischenrechnungen summieren. Nachdem Sie eine Berechnung abgeschlossen haben, müssen Sie möglicherweise die letzte signifikante Ziffer auf- oder abrunden, je nach dem Wert der darauf folgenden Ziffer. Wenn die Ziffer 5 oder größer ist, wird die Zahl aufgerundet. Auf drei signifikante Ziffern gerundet ist 5,215 beispielsweise 5,22, während 5,213 5,21 ist. In ähnlicher Weise wird 5,005 kg auf drei signifikante Stellen gerundet zu 5,01 kg, während 5,004 kg zu 5,00 kg wird. Die Verfahren für den Umgang mit signifikanten Stellen sind bei Addition und Subtraktion anders als bei Multiplikation und Division.

Wenn wir Messwerte addieren oder subtrahieren, bestimmt der Wert mit den wenigsten signifikanten Stellen rechts vom Dezimalpunkt die Anzahl der signifikanten Stellen rechts vom Dezimalpunkt in der Antwort. Das Ziehen einer vertikalen Linie rechts von der Spalte, die der kleinsten Anzahl signifikanter Zahlen entspricht, ist eine einfache Methode, um die richtige Anzahl signifikanter Zahlen für die Antwort zu bestimmen:

3240.7 + 21.2
3261.9	36

Die Zeile zeigt an, dass die Ziffern 3 und 6 in der Antwort nicht signifikant sind. Diese Ziffern sind nicht signifikant, weil die Werte für die entsprechenden Stellen in der anderen Messung unbekannt sind (3240,7??). Folglich wird die Antwort als 3261,9 ausgedrückt, mit fünf signifikanten Stellen. Auch hier gilt, dass Zahlen größer oder gleich 5 aufgerundet werden. Wenn unsere zweite Zahl in der Berechnung 21,256 gewesen wäre, dann hätten wir 3261,956 auf 3262,0 gerundet, um unsere Berechnung abzuschließen.

Wenn wir Messwerte multiplizieren oder dividieren, wird die Antwort auf die kleinste Anzahl signifikanter Zahlen in der Berechnung begrenzt; also 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Obwohl die zweite Zahl in der Berechnung vier signifikante Stellen hat, ist es gerechtfertigt, die Antwort nur mit drei signifikanten Stellen anzugeben, da die erste Zahl in der Berechnung nur drei signifikante Stellen hat. Eine Ausnahme von dieser Regel tritt auf, wenn eine Zahl mit einer ganzen Zahl multipliziert wird, wie in 12,793 × 12. In diesem Fall wird die Anzahl der signifikanten Ziffern in der Antwort durch die Zahl 12,973 bestimmt, da wir im Wesentlichen 12 mal 12,973 zu sich selbst addieren. Die korrekte Antwort ist daher 155,516, eine Erhöhung um eine signifikante Ziffer, nicht 155,52.

Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, ist es wichtig, daran zu denken, dass die im Display des Taschenrechners angezeigte Zahl oft mehr Ziffern anzeigt, als in Ihrer Antwort als signifikant angegeben werden können. Wenn eine als 5,0 kg gemeldete Messung beispielsweise durch 3,0 L geteilt wird, zeigt das Display möglicherweise 1,666666667 als Antwort an. Es ist gerechtfertigt, die Antwort nur auf zwei signifikante Stellen zu runden und 1,7 kg/L als Antwort zu geben, wobei die letzte Stelle mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist.

Bei Berechnungen, die mehrere Schritte umfassen, können leicht unterschiedliche Antworten erhalten werden, je nachdem, wie die Rundung gehandhabt wird, insbesondere ob die Rundung bei Zwischenergebnissen durchgeführt oder bis zum letzten Schritt verschoben wird. Das Runden auf die korrekte Anzahl signifikanter Zahlen sollte immer am Ende einer Reihe von Berechnungen durchgeführt werden, da das Runden von Zwischenergebnissen manchmal dazu führen kann, dass die endgültige Antwort signifikant falsch ist.

In der Praxis arbeiten Chemiker in der Regel mit einem Taschenrechner und tragen alle Ziffern bei nachfolgenden Berechnungen vor. Bei der Arbeit auf dem Papier wollen wir jedoch oft die Anzahl der auszuschreibenden Ziffern minimieren. Da sukzessive Rundungen Ungenauigkeiten verstärken können, müssen Zwischenrundungen korrekt gehandhabt werden. Wenn Sie auf dem Papier arbeiten, runden Sie ein Zwischenergebnis immer so, dass mindestens eine Stelle mehr als vertretbar erhalten bleibt, und übernehmen Sie diese Zahl in den nächsten Rechenschritt. Die endgültige Antwort wird dann ganz zum Schluss auf die richtige Anzahl signifikanter Stellen gerundet.

In den Arbeitsbeispielen in diesem Text werden wir oft die Ergebnisse von Zwischenschritten in einer Berechnung zeigen. Dabei werden die Ergebnisse nur auf die korrekte Anzahl signifikanter Ziffern, die für diesen Schritt zulässig sind, angezeigt, so dass jeder Schritt als separate Berechnung behandelt wird. Dieses Verfahren soll die Regeln für die Bestimmung der Anzahl signifikanter Ziffern verstärken, aber in einigen Fällen kann es zu einer endgültigen Antwort führen, die sich in der letzten Ziffer von derjenigen unterscheidet, die mit einem Taschenrechner erhalten wird, bei dem alle Ziffern bis zum letzten Schritt durchgezogen werden.